Toán: Tuyển sinh PTNK 2018 (p1)

Cùng giải đề thi tuyển sinh (vào lớp 10 chuyên Toán) Phổ Thông Năng Khiếu, năm 2018 nào. Trong đề có một câu bất đẳng thức như sau:

Bài 2 (2đ): Cho $a, b$ là 2 số nguyên thỏa mãn $a^3 + b^3 > 0$\ a) Chứng minh rằng $a^3 + b^3 \geq a + b > 0$\ b) Chứng minh rằng $a^3 + b^3 \geq a^2 + b^2$\ c) Tìm tất cả các bộ số nguyên $x, y, z, t$ sao cho $x^3 + y^3 = z^2 + t^2$ và $z^3 + t^3 = x^2 + y^2$

Lời giải

a) Điều kiện $a^3 + b^3 > 0$ tương đương với $a^3 > (-b)^3$ $\implies a > -b \implies a + b > 0$

Giờ ta cần chứng minh $a^3 + b^3 \geq a + b$, hay $S = a^3 + b^3 - (a + b) \geq 0$.

Vai trò của $a$ và $b$ như nhau nên bài toán không mất tính tổng quát khi ta giả sử $a \geq b$.

- TH1: Nếu $b \geq 0$ thì $a^3 \geq a, b^3 \geq b$ (vì $a$, $b$ là 2 số nguyên không âm). Suy ra $a^3 + b^3 \geq a + b$.

Dấu bằng xảy ra khi $a, b \in \\{0, \pm 1\\}$

- TH2: Nếu $b < 0$. Đặt $c = -b$ với $a \geq c \geq 1$.

Khi đó $S = a^3 - c^3 - (a - c) = (a - c)(a^2 + c^2 + ac - 1) = (a - c) P$

Vì $(a - c + 1)^2 \geq 0$ nên $a^2 + c^2 + 1 - 2ac + 2a - 2c \geq 0$\ $\implies (a^2 + c^2 + ac - 1) - 3ac + 2a - 2c + 2 \geq 0$\ $\implies P \geq 3ac - 2a + 2c - 2 = ac + 2(a + 1)(c - 1)$\ $\implies P > 0 \txt{(vì } a \geq c \geq 1 \txt{)}$

Suy ra $S \geq 0$. Dấu bằng xảy ra khi $a = c$. Lúc này $a^3 = a \implies a = c = 0, \pm 1$

Gộp cả hai điều kiện ta rút ra kết luận: bất đằng thức được chứng minh và dấu bằng xảy ra khi $a, b \in \\{0, \pm 1\\}$ $\quad\blacksquare$.

...

b) Lập luận tương tự câu a). Đối với trường hợp $b < 0$ thì xét $(a - c)^2 + (a - c) \geq 0$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a, b \in \\{0, 1\\}$.

...

c) Sử dụng kết quả của câu b), ta có:

$x^3 + y^3 \geq x^2 + y^2= z^3 + t^3 \geq z^2 + t^2$

Dấu bằng xảy ra khi $x, y \in \\{0, 1\\}$ và $z, t \in \\{0, 1\\}$. Thế vào được các nghiệm:

$(0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0)$.